f : A ® B
Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau
f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}
Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1
ket :
f : y = f(x)
cara mencari fungsi invers
f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y
TEOREMA
f : A ® B dan f-1 : B ® A
f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)
f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)
Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan
Selasa, 29 Maret 2011
Logaritma
Anggap f : A ® B dan g : B ® C
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
MATEMATIKA
Anggap f : A ® B dan g : B ® C
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
fungsi aljabar part II
A. RANCANGAN
Pada pembahasan ini sekedar memenuhi dan melengkapi tentang apa materi yang akan dibahas dalam isi Blog nantinya. Dan yang menjadi pokok materi yang saya bahas adalah menyngkut Belajar Mengajar Siswa SMP/SMA pada mata pelajaran Matematika tentang Fungsi Aljabar.
Hal pertama yang perlu diperhatikan dalam pembelajaran atau pengajaran nantinya ialah rancangan pemblajaran yang dapat ditujukan pada peta konsep berikut ini
Peta Konsep
Text Box: Aplikasi Dalam bentuk pemecahan soal yang dihubungkan dengan Konsep Fungs
Text Box: Sifat-sifat himpunan
Text Box: Diagram Cartesius
Kompetensi yang harus didapat oleh siswa SMP/SMA
· Siswa mampu menentukan dan membedakan relasi danfungsi
· Siswa dapat memahami tentang konsep relasi
· Mampu menggunakan sifat-aifat himpunan dalam penyelesaian soal
· Siswa mampu menggunakan konsep himpunan dalam memahami konsep fungsi
Yang akan diberikan oleh pendidik kepada siswa SMP/SMA
· memberikan soal-soal aplikasi yang berhubungan dengan Fungsi
· menjelaskan cara untuk memeriksa apakah sebuah relasi merupakan sebuah fungsi atau tidak
· menjelasakan domain, kodomain, dan range dari suatu relasi dan fungsi
· menjelasakan cara menulis suatu relasi dari bentuk himpunan ke bentuk pasangan terurut
· Menjelaskan kembali konsep himpunan
A. PELAKSANAANYA
RELASI DAN FUNGSI
URAIAN MATERI
Definisi 1
Sebuah pasangan terurut (x,y) adlah sepasang elemen x dan y dengan x dianggap sebagai elemen pertama dan y elemen kedua.
Definisi 2
Jika A dan B adalah dua buah himpunan sembarang, maka hasil kali Cartesius dari A dan B adlah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a Î A dan b Î B, yaitu
A x B = {(a,b)| a Î A ,b Î B }
Definisi 3
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah himpunan bagian dari A x B.
Contoh
Diketahui bahwa A = {1,3,5}, B = {1,2,4,7},
S = {(1,1), (1,2), (3,4), (5,7)}, dan
T = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (4,5), (7,3)}
A X B = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,7), (3,1), (3,2), (3,4), (3,7), (5,1), (5,2), (5,4), (5,7)}
B x A = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (7,1), (7,3), (7,5)}
Sedangkan S dan T adlah dua buah relasi dengan S ÌA x B dan T Ì B x A. Himpunan dari elemen-elemen pertama disebut daerah asal atau domain.
Himpunan dari elemen-elemen kedua disebut daerah hasil atau range.
Definisi 4
Sebuah fungsi f adalah sebuah kejadian khusus dari sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dimana untuk setiap elemen himpunan A sebagai elemen pertam, tidak ada dua pasangan terurut berbeda yang mempunyai elemen pertama yang sama. Dengan kata lain, jika (x,y) Î f dan (x,z) Î f maka y = z.
Himpunan A disebut domain atau daerah asal dari fungsi. Himpunan B disebut kodomain dari fungsi. Dari definisi 4 diketahui pula bahwa belum tentu semua elemen yÎB memepunyai padanan elemen xÎA.
Berdasarkan definisi 4, kita dapat memeriksa apakah sebuah relasi merupakan sebuah fungsi atau bukan dengan memperlihatkan jika x1 = x2 maka f(x1) = f(x2) untuk setiap x1, x2 Î A.
Beberapa bentuk contoh soal
1. Diketahui fungsi f : R R didefinisikan sebagai f(x) = x2 – 2. Tentukan :
a. Daerah asal f (Df),
b. Daerah Hasil f (Rf),
c. Kodomain dari f (Wf),
d. f(2), dan
e. f(a + 3)
2. Diketahui bahwa f(x) =. Tentukan :
a. Daerah asal f(x)
b. daerah hasil y = f(x)
c. f(15)
d. f(x+b).
Penyelesaian
1. a. Df = R
b. karena x2³ 0 maka Rf = {y Î R | y ³ -2}
c. Kodomain f = Wf = R
d. f(2) = 22 - 2
= 4 - 2
= 2
e. f(a + 3) = (a + 3)2 - 2
= a2 + 6a + 9 - 2
= a2 + 6a + 7
2. a. f(x) terdefinisi jika 2x + 6 ³ 0.
2x + 6 ³ 0 Û x ³ -3
Jadi Df = {x Î R | x ³ -3}.
b. Rf = {y | y ³ 0}
c. f (15) = = 6
d. f(x +b) ==
Pada pembahasan ini sekedar memenuhi dan melengkapi tentang apa materi yang akan dibahas dalam isi Blog nantinya. Dan yang menjadi pokok materi yang saya bahas adalah menyngkut Belajar Mengajar Siswa SMP/SMA pada mata pelajaran Matematika tentang Fungsi Aljabar.
Hal pertama yang perlu diperhatikan dalam pembelajaran atau pengajaran nantinya ialah rancangan pemblajaran yang dapat ditujukan pada peta konsep berikut ini
Peta Konsep
Text Box: Aplikasi Dalam bentuk pemecahan soal yang dihubungkan dengan Konsep Fungs
Text Box: Sifat-sifat himpunan
Text Box: Diagram Cartesius
Kompetensi yang harus didapat oleh siswa SMP/SMA
· Siswa mampu menentukan dan membedakan relasi danfungsi
· Siswa dapat memahami tentang konsep relasi
· Mampu menggunakan sifat-aifat himpunan dalam penyelesaian soal
· Siswa mampu menggunakan konsep himpunan dalam memahami konsep fungsi
Yang akan diberikan oleh pendidik kepada siswa SMP/SMA
· memberikan soal-soal aplikasi yang berhubungan dengan Fungsi
· menjelaskan cara untuk memeriksa apakah sebuah relasi merupakan sebuah fungsi atau tidak
· menjelasakan domain, kodomain, dan range dari suatu relasi dan fungsi
· menjelasakan cara menulis suatu relasi dari bentuk himpunan ke bentuk pasangan terurut
· Menjelaskan kembali konsep himpunan
A. PELAKSANAANYA
RELASI DAN FUNGSI
URAIAN MATERI
Definisi 1
Sebuah pasangan terurut (x,y) adlah sepasang elemen x dan y dengan x dianggap sebagai elemen pertama dan y elemen kedua.
Definisi 2
Jika A dan B adalah dua buah himpunan sembarang, maka hasil kali Cartesius dari A dan B adlah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a Î A dan b Î B, yaitu
A x B = {(a,b)| a Î A ,b Î B }
Definisi 3
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah himpunan bagian dari A x B.
Contoh
Diketahui bahwa A = {1,3,5}, B = {1,2,4,7},
S = {(1,1), (1,2), (3,4), (5,7)}, dan
T = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (4,5), (7,3)}
A X B = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,7), (3,1), (3,2), (3,4), (3,7), (5,1), (5,2), (5,4), (5,7)}
B x A = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (7,1), (7,3), (7,5)}
Sedangkan S dan T adlah dua buah relasi dengan S ÌA x B dan T Ì B x A. Himpunan dari elemen-elemen pertama disebut daerah asal atau domain.
Himpunan dari elemen-elemen kedua disebut daerah hasil atau range.
Definisi 4
Sebuah fungsi f adalah sebuah kejadian khusus dari sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dimana untuk setiap elemen himpunan A sebagai elemen pertam, tidak ada dua pasangan terurut berbeda yang mempunyai elemen pertama yang sama. Dengan kata lain, jika (x,y) Î f dan (x,z) Î f maka y = z.
Himpunan A disebut domain atau daerah asal dari fungsi. Himpunan B disebut kodomain dari fungsi. Dari definisi 4 diketahui pula bahwa belum tentu semua elemen yÎB memepunyai padanan elemen xÎA.
Berdasarkan definisi 4, kita dapat memeriksa apakah sebuah relasi merupakan sebuah fungsi atau bukan dengan memperlihatkan jika x1 = x2 maka f(x1) = f(x2) untuk setiap x1, x2 Î A.
Beberapa bentuk contoh soal
1. Diketahui fungsi f : R R didefinisikan sebagai f(x) = x2 – 2. Tentukan :
a. Daerah asal f (Df),
b. Daerah Hasil f (Rf),
c. Kodomain dari f (Wf),
d. f(2), dan
e. f(a + 3)
2. Diketahui bahwa f(x) =. Tentukan :
a. Daerah asal f(x)
b. daerah hasil y = f(x)
c. f(15)
d. f(x+b).
Penyelesaian
1. a. Df = R
b. karena x2³ 0 maka Rf = {y Î R | y ³ -2}
c. Kodomain f = Wf = R
d. f(2) = 22 - 2
= 4 - 2
= 2
e. f(a + 3) = (a + 3)2 - 2
= a2 + 6a + 9 - 2
= a2 + 6a + 7
2. a. f(x) terdefinisi jika 2x + 6 ³ 0.
2x + 6 ³ 0 Û x ³ -3
Jadi Df = {x Î R | x ³ -3}.
b. Rf = {y | y ³ 0}
c. f (15) = = 6
d. f(x +b) ==
fungsi
Grafik contoh sebuah fungsi,
\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5
Fungsi adalah hubungan antara dua himpunan bilangan. Sama seperti pemetaan; sebuah fungsi.
Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.
Notasi
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
f : A \rightarrow B
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
x \in A
f : x \rightarrow x^2
atau
f(x) =\, x^2
Fungsi sebagai relasi
Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
Domain dan Kodomain
Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain
Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil
Jenis-jenis fungsi
Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 \in A dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.
\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5
Fungsi adalah hubungan antara dua himpunan bilangan. Sama seperti pemetaan; sebuah fungsi.
Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.
Notasi
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
f : A \rightarrow B
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
x \in A
f : x \rightarrow x^2
atau
f(x) =\, x^2
Fungsi sebagai relasi
Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
Domain dan Kodomain
Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain
Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil
Jenis-jenis fungsi
Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 \in A dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.
Jenis-Jenis Aljabar
Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:
* Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.
* Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.
* Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).
* Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.
* Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis.
Pengertian bentuk aljabar
Bentuk-Bentuk seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2q disebut bentuk aljabar.Pada bentuk aljabar 2a, 2 disebut koefisien, sedangkan a disebut variabel( peubah ).
Bentuk-bentuk aljabar
Persamaan dan pertidaksamaan linear
* Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Pada persamaan linear ini berlaku hukum :
1. Ruas kiri dan ruas kanan dapat ditambahkan atau dikurangi bilangan yang sama
2. Ruas kiri dan ruas kanan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Contoh :
r:10
1. r + 3 = 10.
r + 3 - 3 = 10 - 3 (sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
r = 7
2. 3p = 12
3p / 3 = 12/3 (sama-sama dibagi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
p = 4
* Pertidaksamaan Linear satu variabel
Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda <,>, Pada persamaan linear berlaku hukum:
1. Ruas Kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama
2. jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan negatif dan membalikan tanda
contoh : 1. 5v - 7 > 23
5v - 7 + 7 > 23 + 7
5v / 5 > 30 / 5
v > 6
2. -2a < 10 -2a / -2 > 10 / -2
a > -5
* Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.
* Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.
* Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).
* Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.
* Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis.
Pengertian bentuk aljabar
Bentuk-Bentuk seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2q disebut bentuk aljabar.Pada bentuk aljabar 2a, 2 disebut koefisien, sedangkan a disebut variabel( peubah ).
Bentuk-bentuk aljabar
Persamaan dan pertidaksamaan linear
* Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Pada persamaan linear ini berlaku hukum :
1. Ruas kiri dan ruas kanan dapat ditambahkan atau dikurangi bilangan yang sama
2. Ruas kiri dan ruas kanan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Contoh :
r:10
1. r + 3 = 10.
r + 3 - 3 = 10 - 3 (sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
r = 7
2. 3p = 12
3p / 3 = 12/3 (sama-sama dibagi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
p = 4
* Pertidaksamaan Linear satu variabel
Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda <,>, Pada persamaan linear berlaku hukum:
1. Ruas Kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama
2. jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan negatif dan membalikan tanda
contoh : 1. 5v - 7 > 23
5v - 7 + 7 > 23 + 7
5v / 5 > 30 / 5
v > 6
2. -2a < 10 -2a / -2 > 10 / -2
a > -5
Minggu, 27 Maret 2011
Pengertian suku banyak
SUKU BANYAK
Bentuk umum
Polinormal dalam variabel x berderajat r
Penjumlahan, Pengukuran, Perkalian Suku Cadang
• Dua buah suku banyak dapat dijumlah atau dikurangi dengan cara menambahkan atau mengurangi suku-suku yang berderajat sama.
• Untuk mengalikan dengan cara mengalikan suku demi suku.
Nilai Suku Banyak
• Suku banyak dalam x sering ditulis dalam fungsi f (x).
• Bila nilai x diganti dengan konstanta k, maka f (k) disebut nilai suku banyak.
• Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dengan cara :
Substitusi langsung
Horner
Contoh :
Tentukan nilai dari f (x) = 2x7 + 5x6 - 5x4 + 7x3 – 5
Untuk x = - 2
Cara I → substitusi langsung
f (-2) = 2 (-2)7 + 5 (-2)6 – 5 (-2)4 + 7 (-2)3 – 5
= -256 + 320 – 80 – 56 – 5
= -77
Cara II → horner
Kesamaan suku banyak
Dua bentuk aljabar yang sama untuk setiap nilai x dikatakan identik atau sama. Simbol identik : (ekuivalen).
Contoh :
Tentukan nilai p, q, r dengan persamaan berikut :
Jawab :
p + q + r = 6 …. (1)
-q – 3r = -7 … (2)
-p – 2q + 2r = -1 … (3)
(1) & (3) (1) & (2)
Pembagian suku banyak
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x-a) . h (x) + sisa
f (a) = sisa
• Jika pembagi fungsi x pangkat n, maka sisa berpangkat paling tinggi (n-1)
a Sisa :
S2 (x – a) + S1
→ S1
b Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S2
a Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S1
b
→ S2
c
→ S3
Teorema sisa dan faktor
Jika suku banyak f (x) berderajat dan dibagi (x – k) maka sisa s = f (k).
Contoh :
Suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya 7, berapa sisa f (k) bila dibagi x2 + x – 6 ?
Jawab :
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x – 2) . H (x) + 8
f (x) = 8
f (x) = (x + 3) . H (x) + (-7)
f (-3) = -7
f (x) = (x2 + x – 6) . H (x) + (ax + b)
f (x) = (x + 3) (x – 2) . H (x) + (ax + b)
f (-3) = a (-3) + b → -3 a + b = -7
f (-2) = a . 2 + b → 2 a + b = 8 -
- 5 a = -15
a = 3
b = 2
Memfaktorkan suku banyak
Langkah-langkah :
1. Jika jumlah koefisien-koefisien suku banyak termasuk konstanta adalah 0, maka 1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
2. Jika jumlah koefisien genap = jumlah koefisien, pangkat ganjil, maka -1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
3. Jika langkah 1 dan 2 tidak terpenuhi, maka coba faktor dari konstantadibagi faktor koefisien pangkat tertinggi.
Suku banyak berderajat 3 dan 4
• Berderajat 3
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 =
x1x2 + x2x3 + x1x3 =
x1x2x3 =
• Berderajat 4
ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e = 0
x1 + x2 + x3 + x4 =
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =
x1 x2 x3 x4 =
A.
1. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …
a. 8x + 8
b. 8x – 8
c. -8x + 8
d. -8x – 8
e. -8x + 6
2. Sisa pembagian suku banyk (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …
a. -6x + 5
b. -6x – 5
c. 6x + 5
d. 6x – 5
e. 6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku bayank tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
4. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak f (x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
5. Jika suku banyak P (x) = 2x4 – ax3 – 3x2 – 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …
a. -6
b. -3
c. 1
d. 6
e. 8
6. Diketahui suku banyak f (x) jika dibagi (x + 1) sisanya 8 dan dibagi (x – 3) sisanya 4. Suku banyak q (x) jika dibagi dengan (x + 1) bersisa -9 dan jika dibagi (x – 3) sisanya 15. Jika h (x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h (x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …
a. –x + 7
b. 6x – 3
c. -6x – 21
d. 11x – 13
e. 33x – 39
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linier yang lain adalah …
a. 2x – 1
b. 2x + 3
c. x – 4
d. x + 4
e. x + 2
8. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P (x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …
a. 20x + 24
b. 20x – 16
c. 32x + 24
d. 8x + 24
e. -32x – 16
9. Jika f (x) = x3 – x2 + 2x – 4, maka nilai f (x) untuk x = -2 adalah …
a. -25
b. -20
c. -10
d. 10
e. 20
10. Jika 2x10 – 5x6 + 3x2 – 11 dibagi dengan x2 – 1, maka sisanya adalah …
a. -9
b. -10
c. -11
d. 9
e. 10
11. Fungsi f (x) dibagi (x + 2) sisanya -4, dan dibagi (x – 1) sisanya 5. Jika f (x) tersebut dibagi x2 + x – 2, maka sisanya adalah …
a. 2x + 3
b. 2x – 3
c. 3x + 2
d. 3x – 2
e. x + 1
12. Sisa pembagian x4 – 2x3 + x2 – 3x + 4 dibagi (x2 + x + 2) adalah …
a. x + 3
b. x + 2
c. x + 1
d. x
e. x – 1
13. Sisa pembagian 2x3 – x2 – x + p oleh (x + 1) adalah -3, untuk harga p yang memenuhi adalah …
a. -5
b. -4
c. -3
d. -1
e. 0
14. Akar-akar persamaan 2x3 – 8x2 – 6x + 1 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka harga x12 – x22 + x32 adalah …
a. 1
b. 8
c. 9
d. 10
e. 22
15. Persamaan 3x3 + (p+2)x2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah …
a. 4
b. 3
c. 1
d. -1 ¾
e. -4
16. Tentukan sisa pembagian dari (x3 – 2x2 + 5x – 40) dibagi (x – 2) maka sisanya adalah …
a. 30
b. 20
c. 10
d. -20
e. -30
17. Jika x1, x2 dan x3¬ akar persamaan dari x3 – 12x2 – 10x + 16 = 0, maka tentukan x1x2 + x1x3 + x2x3 adalah …
a. 6
b. -5
c. -8
d. 10
e. 2
18. Suatu suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya -7, sisa pembagian suku banyak f (x) oleh x2 + x – 6 adalah …
a. 9x – 7
b. x + 6
c. 2x + 3
d. x – 4
e. 3x + 2
19. Suku banyak :
f (x) = x3 + mx2 – 4x + (2m – 3) dan f (x) dibagi (x – 1) sisanya 3. Apabila f (x) dibagi (x + 1) sisanya …
a. -6
b. -3
c. 6
d. 9
e. 12
20. Jika salah satu akar suku banyak f (x) = 0, maka akar (x2 + 3x + 6). F (x + 2) = 0 adalah …
a. a + 2
b. a + 3
c. a – 3
d. 2a
e. a – 2
B.
1. Nilai suku banyak x5 – x3 + 7x + 12 untuk x = 2 adalah …
2. Salah satu faktor suku banyak P (x) = x4 – 15x2 – 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah …
3. Salah satu faktor dari suku banyak p (x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah (x + 1). Faktor linier lain dari suku banyak tersebut adalah …
4. Jika x3 – 3x2 + 5x – 9 dibagi x – 2, sisanya adalah …
5. Persamaan x3 – 7x2 + ax – 8 mempunyai akar-akar yang membentuk barisan geometri. Tentukan nilai a !
6. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisa 24 dan bila dibagi (x + 5) sisanya 10, carilah sisanya bila f (x) dibagi x2 + 3x – 10 !
7. Tentukan akar-akar persamaan suku banyak x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0.
8. Tentukan nilai p dan q jika suku banyak x4 – px2 + qx – 8 habis dibagi dengan x2 – 2x + 1 !
9. Jika suku banyak x3 + 10x2 – 4x + 7 dan x3 + 10x2 + (a – 8)x + 1 dibagi 4x – 3 memberikan sisa yang sama, hitunglah a !
10. Agar (x – 1) merupakan faktor dari 2x4 – 4x2 – 3x + 3 nilai a yang memenuhi adalah …
11. Himpunan penyelesaian persamaan x4 + 3x3 – 5x2 – 3x + 4 = 0 adalah …
12. Persamaan 2x3 + 3x2 - 9x – 10 dapat difaktorkan menjadi …
13. Akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 4x + 5 = 0 adalah x1, x2, x3. Nilai x12 + x22 + x32 adalah …
14. Persamaan x3 + 2x2 – 15x + a = 0 mempunyai sepasang akar sama. Nilai a sama dengan …
15. Suku banyak 2x3 + 7x2 + ax – 3 mempunyai faktor 2x – 1. Faktor-faktor linier lainnya adalah …
16. Suku banyak f (x) = ax3 – 5x2 – 22x + b habis dibagi dengan (x2 – 4x – 5), maka nilai a dan b berturut-turut adalah …
17. Diket f (x) dibagi dengan x – 2 sisanya 5, dibagi dengan x – 3 sisanya 7. Bila f (x) dibagi dengan x2 – 5x + 6, sisanya adalah …
18. Suku banyak p (x) dibagi oleh x2 – x memberikan sisa 3x + 1, sedangkan dibagi oleh x2 + x sisanya 1 – x. Sisa pembagian p (x) oleh x2 – 1 adalah …
19. Akar-akar dari persamaan suku bunga x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4 = 0 adalah …
20. Salah satu akar persamaan x4 + px3 + 7x2 – 3x – 10 = 0 adalah 1. jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah …
Bentuk umum
Polinormal dalam variabel x berderajat r
Penjumlahan, Pengukuran, Perkalian Suku Cadang
• Dua buah suku banyak dapat dijumlah atau dikurangi dengan cara menambahkan atau mengurangi suku-suku yang berderajat sama.
• Untuk mengalikan dengan cara mengalikan suku demi suku.
Nilai Suku Banyak
• Suku banyak dalam x sering ditulis dalam fungsi f (x).
• Bila nilai x diganti dengan konstanta k, maka f (k) disebut nilai suku banyak.
• Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dengan cara :
Substitusi langsung
Horner
Contoh :
Tentukan nilai dari f (x) = 2x7 + 5x6 - 5x4 + 7x3 – 5
Untuk x = - 2
Cara I → substitusi langsung
f (-2) = 2 (-2)7 + 5 (-2)6 – 5 (-2)4 + 7 (-2)3 – 5
= -256 + 320 – 80 – 56 – 5
= -77
Cara II → horner
Kesamaan suku banyak
Dua bentuk aljabar yang sama untuk setiap nilai x dikatakan identik atau sama. Simbol identik : (ekuivalen).
Contoh :
Tentukan nilai p, q, r dengan persamaan berikut :
Jawab :
p + q + r = 6 …. (1)
-q – 3r = -7 … (2)
-p – 2q + 2r = -1 … (3)
(1) & (3) (1) & (2)
Pembagian suku banyak
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x-a) . h (x) + sisa
f (a) = sisa
• Jika pembagi fungsi x pangkat n, maka sisa berpangkat paling tinggi (n-1)
a Sisa :
S2 (x – a) + S1
→ S1
b Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S2
a Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S1
b
→ S2
c
→ S3
Teorema sisa dan faktor
Jika suku banyak f (x) berderajat dan dibagi (x – k) maka sisa s = f (k).
Contoh :
Suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya 7, berapa sisa f (k) bila dibagi x2 + x – 6 ?
Jawab :
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x – 2) . H (x) + 8
f (x) = 8
f (x) = (x + 3) . H (x) + (-7)
f (-3) = -7
f (x) = (x2 + x – 6) . H (x) + (ax + b)
f (x) = (x + 3) (x – 2) . H (x) + (ax + b)
f (-3) = a (-3) + b → -3 a + b = -7
f (-2) = a . 2 + b → 2 a + b = 8 -
- 5 a = -15
a = 3
b = 2
Memfaktorkan suku banyak
Langkah-langkah :
1. Jika jumlah koefisien-koefisien suku banyak termasuk konstanta adalah 0, maka 1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
2. Jika jumlah koefisien genap = jumlah koefisien, pangkat ganjil, maka -1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
3. Jika langkah 1 dan 2 tidak terpenuhi, maka coba faktor dari konstantadibagi faktor koefisien pangkat tertinggi.
Suku banyak berderajat 3 dan 4
• Berderajat 3
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 =
x1x2 + x2x3 + x1x3 =
x1x2x3 =
• Berderajat 4
ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e = 0
x1 + x2 + x3 + x4 =
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =
x1 x2 x3 x4 =
A.
1. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …
a. 8x + 8
b. 8x – 8
c. -8x + 8
d. -8x – 8
e. -8x + 6
2. Sisa pembagian suku banyk (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …
a. -6x + 5
b. -6x – 5
c. 6x + 5
d. 6x – 5
e. 6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku bayank tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
4. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak f (x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
5. Jika suku banyak P (x) = 2x4 – ax3 – 3x2 – 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …
a. -6
b. -3
c. 1
d. 6
e. 8
6. Diketahui suku banyak f (x) jika dibagi (x + 1) sisanya 8 dan dibagi (x – 3) sisanya 4. Suku banyak q (x) jika dibagi dengan (x + 1) bersisa -9 dan jika dibagi (x – 3) sisanya 15. Jika h (x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h (x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …
a. –x + 7
b. 6x – 3
c. -6x – 21
d. 11x – 13
e. 33x – 39
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linier yang lain adalah …
a. 2x – 1
b. 2x + 3
c. x – 4
d. x + 4
e. x + 2
8. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P (x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …
a. 20x + 24
b. 20x – 16
c. 32x + 24
d. 8x + 24
e. -32x – 16
9. Jika f (x) = x3 – x2 + 2x – 4, maka nilai f (x) untuk x = -2 adalah …
a. -25
b. -20
c. -10
d. 10
e. 20
10. Jika 2x10 – 5x6 + 3x2 – 11 dibagi dengan x2 – 1, maka sisanya adalah …
a. -9
b. -10
c. -11
d. 9
e. 10
11. Fungsi f (x) dibagi (x + 2) sisanya -4, dan dibagi (x – 1) sisanya 5. Jika f (x) tersebut dibagi x2 + x – 2, maka sisanya adalah …
a. 2x + 3
b. 2x – 3
c. 3x + 2
d. 3x – 2
e. x + 1
12. Sisa pembagian x4 – 2x3 + x2 – 3x + 4 dibagi (x2 + x + 2) adalah …
a. x + 3
b. x + 2
c. x + 1
d. x
e. x – 1
13. Sisa pembagian 2x3 – x2 – x + p oleh (x + 1) adalah -3, untuk harga p yang memenuhi adalah …
a. -5
b. -4
c. -3
d. -1
e. 0
14. Akar-akar persamaan 2x3 – 8x2 – 6x + 1 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka harga x12 – x22 + x32 adalah …
a. 1
b. 8
c. 9
d. 10
e. 22
15. Persamaan 3x3 + (p+2)x2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah …
a. 4
b. 3
c. 1
d. -1 ¾
e. -4
16. Tentukan sisa pembagian dari (x3 – 2x2 + 5x – 40) dibagi (x – 2) maka sisanya adalah …
a. 30
b. 20
c. 10
d. -20
e. -30
17. Jika x1, x2 dan x3¬ akar persamaan dari x3 – 12x2 – 10x + 16 = 0, maka tentukan x1x2 + x1x3 + x2x3 adalah …
a. 6
b. -5
c. -8
d. 10
e. 2
18. Suatu suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya -7, sisa pembagian suku banyak f (x) oleh x2 + x – 6 adalah …
a. 9x – 7
b. x + 6
c. 2x + 3
d. x – 4
e. 3x + 2
19. Suku banyak :
f (x) = x3 + mx2 – 4x + (2m – 3) dan f (x) dibagi (x – 1) sisanya 3. Apabila f (x) dibagi (x + 1) sisanya …
a. -6
b. -3
c. 6
d. 9
e. 12
20. Jika salah satu akar suku banyak f (x) = 0, maka akar (x2 + 3x + 6). F (x + 2) = 0 adalah …
a. a + 2
b. a + 3
c. a – 3
d. 2a
e. a – 2
B.
1. Nilai suku banyak x5 – x3 + 7x + 12 untuk x = 2 adalah …
2. Salah satu faktor suku banyak P (x) = x4 – 15x2 – 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah …
3. Salah satu faktor dari suku banyak p (x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah (x + 1). Faktor linier lain dari suku banyak tersebut adalah …
4. Jika x3 – 3x2 + 5x – 9 dibagi x – 2, sisanya adalah …
5. Persamaan x3 – 7x2 + ax – 8 mempunyai akar-akar yang membentuk barisan geometri. Tentukan nilai a !
6. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisa 24 dan bila dibagi (x + 5) sisanya 10, carilah sisanya bila f (x) dibagi x2 + 3x – 10 !
7. Tentukan akar-akar persamaan suku banyak x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0.
8. Tentukan nilai p dan q jika suku banyak x4 – px2 + qx – 8 habis dibagi dengan x2 – 2x + 1 !
9. Jika suku banyak x3 + 10x2 – 4x + 7 dan x3 + 10x2 + (a – 8)x + 1 dibagi 4x – 3 memberikan sisa yang sama, hitunglah a !
10. Agar (x – 1) merupakan faktor dari 2x4 – 4x2 – 3x + 3 nilai a yang memenuhi adalah …
11. Himpunan penyelesaian persamaan x4 + 3x3 – 5x2 – 3x + 4 = 0 adalah …
12. Persamaan 2x3 + 3x2 - 9x – 10 dapat difaktorkan menjadi …
13. Akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 4x + 5 = 0 adalah x1, x2, x3. Nilai x12 + x22 + x32 adalah …
14. Persamaan x3 + 2x2 – 15x + a = 0 mempunyai sepasang akar sama. Nilai a sama dengan …
15. Suku banyak 2x3 + 7x2 + ax – 3 mempunyai faktor 2x – 1. Faktor-faktor linier lainnya adalah …
16. Suku banyak f (x) = ax3 – 5x2 – 22x + b habis dibagi dengan (x2 – 4x – 5), maka nilai a dan b berturut-turut adalah …
17. Diket f (x) dibagi dengan x – 2 sisanya 5, dibagi dengan x – 3 sisanya 7. Bila f (x) dibagi dengan x2 – 5x + 6, sisanya adalah …
18. Suku banyak p (x) dibagi oleh x2 – x memberikan sisa 3x + 1, sedangkan dibagi oleh x2 + x sisanya 1 – x. Sisa pembagian p (x) oleh x2 – 1 adalah …
19. Akar-akar dari persamaan suku bunga x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4 = 0 adalah …
20. Salah satu akar persamaan x4 + px3 + 7x2 – 3x – 10 = 0 adalah 1. jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah …
Limit Fungsi
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<< kecil sekali ; » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x ® 0 sin x x ® 0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 bx x ® 0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<< kecil sekali ; » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x ® 0 sin x x ® 0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 bx x ® 0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
Jumat, 25 Maret 2011
fungsi aljabar
A. RANCANGAN
Pada pembahasan ini sekedar memenuhi dan melengkapi tentang apa materi yang akan dibahas dalam isi Blog nantinya. Dan yang menjadi pokok materi yang saya bahas adalah menyngkut Belajar Mengajar Siswa SMP/SMA pada mata pelajaran Matematika tentang Fungsi Aljabar.
Hal pertama yang perlu diperhatikan dalam pembelajaran atau pengajaran nantinya ialah rancangan pemblajaran yang dapat ditujukan pada peta konsep berikut ini:
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
Kompetensi yang harus didapat oleh siswa SMP/SMA
· Siswa mampu menentukan dan membedakan relasi danfungsi
· Siswa dapat memahami tentang konsep relasi
· Mampu menggunakan sifat-aifat himpunan dalam penyelesaian soal
· Siswa mampu menggunakan konsep himpunan dalam memahami konsep fungsi
Yang akan diberikan oleh pendidik kepada siswa SMP/SMA
· memberikan soal-soal aplikasi yang berhubungan dengan Fungsi
· menjelaskan cara untuk memeriksa apakah sebuah relasi merupakan sebuah fungsi atau tidak
· menjelasakan domain, kodomain, dan range dari suatu relasi dan fungsi
· menjelasakan cara menulis suatu relasi dari bentuk himpunan ke bentuk pasangan terurut
· Menjelaskan kembali konsep himpunan
A. PELAKSANAANYA
RELASI DAN FUNGSI
URAIAN MATERI
Definisi 1
Sebuah pasangan terurut (x,y) adlah sepasang elemen x dan y dengan x dianggap sebagai elemen pertama dan y elemen kedua.
Definisi 2
Jika A dan B adalah dua buah himpunan sembarang, maka hasil kali Cartesius dari A dan B adlah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a Î A dan b Î B, yaitu
A x B = {(a,b)| a Î A ,b Î B }
Definisi 3
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah himpunan bagian dari A x B.
Contoh
Diketahui bahwa A = {1,3,5}, B = {1,2,4,7},
S = {(1,1), (1,2), (3,4), (5,7)}, dan
T = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (4,5), (7,3)}
A X B = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,7), (3,1), (3,2), (3,4), (3,7), (5,1), (5,2), (5,4), (5,7)}
B x A = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (7,1), (7,3), (7,5)}
Sedangkan S dan T adlah dua buah relasi dengan S ÌA x B dan T Ì B x A. Himpunan dari elemen-elemen pertama disebut daerah asal atau domain.
Himpunan dari elemen-elemen kedua disebut daerah hasil atau range.
Definisi 4
Sebuah fungsi f adalah sebuah kejadian khusus dari sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dimana untuk setiap elemen himpunan A sebagai elemen pertam, tidak ada dua pasangan terurut berbeda yang mempunyai elemen pertama yang sama. Dengan kata lain, jika (x,y) Î f dan (x,z) Î f maka y = z.
Himpunan A disebut domain atau daerah asal dari fungsi. Himpunan B disebut kodomain dari fungsi. Dari definisi 4 diketahui pula bahwa belum tentu semua elemen yÎB memepunyai padanan elemen xÎA.
Berdasarkan definisi 4, kita dapat memeriksa apakah sebuah relasi merupakan sebuah fungsi atau bukan dengan memperlihatkan jika x1 = x2 maka f(x1) = f(x2) untuk setiap x1, x2 Î A.
Beberapa bentuk contoh soal
1. Diketahui fungsi f : R R didefinisikan sebagai f(x) = x2 – 2. Tentukan : a. Daerah asal f (Df),
b. Daerah Hasil f (Rf),
c. Kodomain dari f (Wf),
d. f(2), dan
e. f(a + 3)
2. Diketahui bahwa f(x) =
. Tentukan :
. Tentukan : a. Daerah asal f(x)
b. daerah hasil y = f(x)
c. f(15)
d. f(x+b).
Penyelesaian
1. a. Df = R
b. karena x2³ 0 maka Rf = {y Î R | y ³ -2}
c. Kodomain f = Wf = R
d. f(2) = 22 - 2
= 4 - 2
= 2
e. f(a + 3) = (a + 3)2 - 2
= a2 + 6a + 9 - 2
= a2 + 6a + 7
2. a. f(x) terdefinisi jika 2x + 6 ³ 0.
2x + 6 ³ 0 Û x ³ -3
Jadi Df = {x Î R | x ³ -3}.
b. Rf = {y | y ³ 0}
c. f (15) = 
= 6
d. f(x +b) == 6
= 
fungsi invers
f : A ® B
Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau
f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}
Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1
 | ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y |
TEOREMA
f : A ® B dan f-1 : B ® A
f : A ® B dan f-1 : B ® A
f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)
f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)
Kamis, 24 Maret 2011
Logaritma
Anggap f : A ® B dan g : B ® C
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
Langganan:
Postingan (Atom)